Матрица выигрышей

Пусть всего имеется п вариантов проведения работ и т вариантов залегания полезных ископаемых. Пусть интересы лица, принимающего решения, удалось выразить в виде единственного показателя, который при г-м варианте проведения работ и -м варианте залегания ископаемых имеет значение а . Пусть ЛПР заинтересован в увеличении этого показателя. Матрица коэффициентов atj (i = l,. .., п / = 1,. .., т) (часто называемая матрицей выигрышей) является моделью изучаемой ситуации и описывает зависимость показателя от решений и природных условий.  

Проиллюстрируем эти подходы на простом примере, в котором имеются десять вариантов проведения работ и четыре варианта расположения ископаемых. Значения коэффициентов матрицы выигрышей, а также некоторые основные и вспомогательные показатели приведены в табл. 3.2 (выигрыши измеряются, скажем, в миллионах рублей).  
Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является стратегия, т. е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной — функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений.  
При принятии решений в условиях неопределенности следует оценить различные варианты с точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации, вытекающие из различных критериев, совпадают, можно с большой уверенностью выбрать наилучшие решения. Если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон (социальной значимости проекта, экологической безопасности и т.д.). В любом случае анализ матрицы выигрышей или рисков под углом зрения разных критериев будет полезен. Он даст лучшее представление о ситуации, о достоинствах и недостатках каждого решения, чем непосредственное рассмотрение матрицы, особенно когда размеры ее велики. Выбор решения на основании того или иного критерия будет более обоснованным, чем волевой выбор, который, вообще говоря, также исходит из некоторых критериев, однако интуитивных и точно несформулированных.  
Здесь приведена матрица выигрышей 1-го игрока. Как вы-  
Материальные системы 323 Материальные услуги 373 Матрица 187 Матрица выигрышей 188 Матрица игры 188 Матрица квадратичной формы 140 Матрица МОБ 189 Матрица назначений 101 Матрица оценок 101 Матрица переходных вероятностей 189 Матрица потерь 189, 198 Матрица системы линейных уравнений  
Матрица выигрышей игрока А, которую обозначим через А, имеет следующий вид (рис. 1).  

Рис. 1. Матрица выигрышей игрока А

Значение элементов матрицы выигрышей для поставщика и потребителя зависит от реальной конъюнктуры, в частности, от таких факторов, как возможность продать (купить) другому потребителю (у другого поставщика) в случае отказа участвующего в игре, от способности одного участника игры навязать свои интересы другому, а также от размеров отклонения объема продаж (покупок) и цены от предусмотренной в договоре.  
Например, матрица выигрышей может иметь такой вид, как показано в таблице. Здесь z — реальное количество приобретаемых средств производства г0 — договорный размер спроса потребителя с — реальная цена обмена за единицу товара с0 — договорная цена т — реальный размер  
Если биматричная игра является антагонистической, то матрица выигрышей игрока 2 полностью определяется матрицей выигрышей игрока 1 (соответствующие элементы этих двух матриц отличаются только знаками). Поэтому биматричная антагонистическая игра полностью описывается единственной матрицей (матрицей выигрышей игрока 1) и в соответствии с этим называется матричной.  
Зачет. Пусть игрок 1 — Студент — готовится к зачету, а игрок 2 — Преподаватель — принимает его ). Будем считать, что у Студента две стратегии хорошо подготовиться (X) или плохо (/7), а у Преподавателя — тоже две стратегии поставить зачет (+) и не поставить его (—). В основу оценки значений функций выигрыша игроков можно положить, например, следующие соображения, отраженные в матрицах выигрышей.  
Эта игра — биматричная. В ней каждый игрок имеет по две стратегии признаваться (77) или нет (Я). Матрицами выигрышей игроков являются  
Это название объясняется следующей возможностью описания игр такого рода. Составим прямоугольную таблицу, в которой строки соответствуют стратегиям первого игрока, столбцы — стратегиям второго, а клетки таблицы, стоящие на пересечении строк и столбцов, соответствуют ситуациям игры. Если поставить в каждую клетку выигрыш первого игрока в соответствующей ситуации, то получим описание игры в виде некоторой матрицы. Эта матрица называется матрицей игры или матрицей выигрышей. П  
Ясно, что матрицы выигрышей в изоморфных друг другу матричных играх отличаются друг от друга разве лишь порядками строк и столбцов, а в зеркально-изоморфных друг другу играх — еще и транспонированием с переменой знаков всех элементов.  
Применительно к матричным играм говорят о седловых точках матрицы выигрышей. П  
Подчеркнем, что свойство равноценности ситуаций равновесия не поддается обращению из (х, у ) Е (Г) и Н(х,у) = Н(х, у ) вовсе не следует, что и (х, у) Е (Г). Например, в 2Х2-игре с матрицей выигрышей  
Обратимся теперь непосредственно к рассмотрению матричных игр. Матричную игру с матрицей выигрышей А будем, как указывалось, обозначать через Г . Если не оговорено противное, матричная игра будет считаться т X -игрой. Стратегии игрока ] обозначаются номерами соответствующих строк, а стратегии игрока 2 — номерами столбцов, /-я строка матрицы А обозначается через Л/, /-и ее столбец — через Л/у, а элемент, стоящий на их пересечении, — через а .  
Очевидно, ситуацией в матричной игре можно считать пару чисел (/,/), где / — номер строки матрицы выигрышей, / — номер ее столбца.  
Из доказанной в п. 16.1 теоремы вытекает, что если значение VA игры 1 4 заранее известно (например, если оно может быть найдено на основании каких-либо общих свойств матрицы выигрышей А), то многогранники (А) и Э (А) для этой игры можно считать заданными, хотя, быть может, и «в недостаточно явном виде» (т.е. своими гранями, а не вершинами).  
Численное же нахождение оптимальных стратегий в матричных играх требует значительного объема вычислений, который быстро растет с увеличением размеров матрицы выигрышей игры.  
Рассмотрим матричную игру, в которой каждый из игроков имеет по две чистые стратегии. Матрица выигрышей этой игры имеет вид  
Рассмотрим игру Г с матрицей выигрышей -U 51 Максимин элементов  
Рассмотрим игру, в которой игрок 1 имеет две чистые стратегии, а игрок 2 — произвольное число п чистых стратегий. Матрица выигрышей этой игры имеет вид  
Пусть теперь в матричной игре две чистые стратегии имеет игрок 2, а игрок 1 — произвольное их число т. Это значит, что матрица выигрышей такой игры имеет вид  
Итак, пусть нам дана игра с 3 X 3-матрицей выигрышей А. В основу ее решения мы положим следующие соображения.  
Определение. В матричной игре с матрицей выигрышей А стратегия X игрока 1 строго доминирует его стратегию Хп (а стратегия X» строго доминируется стратегией Х )9 если для любого / =у. X A.j >X»A.j.  
Теорема. Пусть в пХп-матричной игре ГА матрица выигрышей А является невырожденной.  
Матрица выигрышей А диагональной игры Г , очевидно, является невырожденной. Для нее  
Рассмотрим игру с т X -матрицей выигрышей Л. Не нарушая общности, можно считать, что все элементы этой матрицы положительны (если это не так, то мы можем,, прибавив ко всем элементам некоторое достаточно большое число, рассматривать получившуюся игру, которая аффинно эквивалентна первоначальной).  
Эта матрица косо симметричная поэтому матричная игра с такой матрицей выигрышей будет симметричной. Следовательно (см. п. 5.5), ее значение должно быть равно нулю, а оба игрока имеют в ней одинаковые оптимальные стратегии. Далее мы будем их называть просто оптимальными стратегиям и, не указывая ни игрока, ни самой игры.  
Пример 1. В диагональной игре с матрицей выигрыша  
Поэтому такие игры называются биматричными. Биматричная игра с матрицами выигрышей А и В обозначается через Г (А, В.) или через ГА в. 12.2. Смешанные стратегии в биматричных играх, как и в матричных играх, естественно понимать как векторы, составляющие фундаментальный симплекс. Если X и Y — соответственно векторы, описывающие смешанные стратегии игроков 1 и 2, то, как легко видеть,  
Определение ситуации равновесия для случая биматричной игры приобретает следующую формулировку. Ситуация (X, Y) в биматричной игре с матрицами выигрышей А и В является равновесной, если  
Пусть Г — Г (А, В) — тХ и-биматричная игра с матрицами выигрышей игроков  
МАТРИЦА ИГРЫ в теории игр, теории решений — таблица, в которую заносятся возможные результаты принимаемых решений (напр., исходы игры в случае выбора игроками той или иной стратегии). Другие названия, отражающие разные подходы к определению элементов матрицы, но по существу аналогичные Матрица выигрышей, Платежная матрица.  

Матричная игра полностью определяется своей матрицей выигрышей. Поэтому игру с матрицей выигрышей А мы будем обычно обозначать через ГА или Г (Л). Если А является гаХи-матрицей (т.е. имеет m строк и п столбцов), то будем говорить, что ГА есть m X -игра.  
Иногда оказывается, что проверка невырожденности матрицы выигрышей игры затруднительна. Имея в виду такие случаи, желательно исключить проверку невырожденности матрицы из решения игры. В связи с этим представляется полезной следующая лемма.  

Использование теории игр в практике управления

Райнер ФелькерИз архивов журнала «Проблемы Теории и Практики Управления»

  • С помощью теории игр предприятие получает возможность предусмотреть ходы своих партнеров и конкурентов
  • Сложный инструментарий следует использовать только при принятии принципиально важных стратегических решений

    В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и социальных наук. В экономике она применима не только для решения общехозяйственных задач, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок организационных структур и систем стимулирования.

    Уже в момент ее зарождения, которым считают публикацию в 1944 г. монографии Дж. Неймана и О. Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение”, многие предсказали революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Эти прогнозы нельзя было считать излишне смелыми, так как с самого начала данная теория претендовала на описание рационального поведения при принятии решений во взаимосвязанных ситуациях, что характерно для большинства актуальных проблем в экономических и социальных науках. Такие тематические области, как стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются ключевыми в теории игр и непосредственно связаны с управленческими задачами.

    Первые работы по теории игр отличались упрощенностью предположений и высокой степенью формальной абстракции, что делало их малопригодными для практического использования. За последние 10 – 15 лет положение резко изменилось. Бурный прогресс в промышленной экономике показал плодотворность методов игр в прикладной сфере.

    В последнее время эти методы проникли и в управленческую практику. Вполне вероятно, что теория игр наряду с теориями трансакционных издержек и “патрон – агент” будет восприниматься как наиболее экономически обоснованный элемент теории организации. Следует отметить, что уже в 80-х годах М. Портер ввел в обиход некоторые ключевые понятия теории, в частности такие, как “стратегический ход” и “игрок”. Правда, эксплицитный анализ, связанный с концепцией равновесия, в этом случае еще отсутствовал.

    Основные положения теории игр

    Чтобы описать игру, необходимо сначала выявить ее участников. Это условие легко выполнимо, когда речь идет об обычных играх типа шахмат, канасты и т.п. Иначе обстоит дело с “рыночными играми”. Здесь не всегда просто распознать всех игроков, т.е. действующих или потенциальных конкурентов. Практика показывает, что не обязательно идентифицировать всех игроков, надо обнаружить наиболее важных.

    Игры охватывают, как правило, несколько периодов, в течение которых игроки предпринимают последовательные или одновременные действия. Эти действия обозначаются термином “ход”. Действия могут быть связаны с ценами, объемами продаж, затратами на научные исследования и разработки и т.д. Периоды, в течение которых игроки делают свои ходы, называются этапами игры. Выбранные на каждом этапе ходы в конечном счете определяют “платежи” (выигрыш или убыток) каждого игрока, которые могут выражаться в материальных ценностях или деньгах (преимущественно дисконтированная прибыль).

    Еще одним основным понятием данной теории является стратегия игрока. Под ней понимаются возможные действия, позволяющие игроку на каждом этапе игры выбирать из определенного количества альтернативных вариантов такой ход, который представляется ему “лучшим ответом” на действия других игроков. Относительно концепции стратегии следует заметить, что игрок определяет свои действия не только для этапов, которых фактически достигла конкретная игра, но и для всех ситуаций, включая и те, которые могут и не возникнуть в ходе данной игры.

    Важна и форма предоставления игры. Обычно выделяют нормальную, или матричную, форму и развернутую, заданную в виде дерева. Эти формы для простой игры представлены на рис. 1а и 1б.

    Чтобы установить первую связь со сферой управления, игру можно описать следующим образом. Два предприятия, производящие однородную продукцию, стоят перед выбором. В одном случае они могут закрепиться на рынке благодаря установлению высокой цены, которая обеспечит им среднюю картельную прибыль ПK. При вступлении в жесткую конкурентную борьбу оба получают прибыль ПW. Если один из конкурентов устанавливает высокую цену, а второй – низкую, то последний реализует монопольную прибыль ПM, другой же несет убытки ПG. Подобная ситуация может, например, возникнуть когда обе фирмы должны объявить свою цену, которая впоследствии не может быть пересмотрена.

    При отсутствии жестких условий обоим предприятиям выгодно назначить низкую цену. Стратегия “низкой цены” является доминирующей для любой фирмы: вне зависимости от того, какую цену выбирает конкурирующая фирма, самой всегда предпочтительней устанавливать низкую цену. Но в таком случае перед фирмами возникает дилемма, так как прибыль ПK (которая для обоих игроков выше, чем прибыль ПW) не достигается.

    Стратегическая комбинация “низкие цены/низкие цены” с соответствующими платежами представляет собой равновесие Нэша, при котором ни одному из игроков невыгодно сепаратно отходить от выбранной стратегии. Подобная концепция равновесия является принципиальной при разрешении стратегических ситуаций, но при определенных обстоятельствах она все же требует усовершенствования.

    Что касается указанной выше дилеммы, то ее разрешение зависит, в частности, от оригинальности ходов игроков. Если предприятие имеет возможность пересмотреть свои стратегические переменные (в данном случае цену), то может быть найдено кооперативное решение проблемы даже без жесткого договора между игроками. Интуиция подсказывает, что при многократных контактах игроков появляются возможности добиться приемлемой “компенсации”. Так, при известных обстоятельствах нецелесообразно стремиться к краткосрочным высоким прибылям путем ценового демпинга, если в дальнейшем может возникнуть “война цен”.

    Как отмечалось, оба рисунка характеризуют одну и ту же игру. Предоставление игры в нормальной форме в обычном случае отражает “синхронность”. Однако это не означает “одновременность” событий, а указывает на то, что выбор стратегии игроком осуществляется в условиях неведения о выборе стратегии соперником. При развернутой форме такая ситуация выражается через овальное пространство (информационное поле). При отсутствии этого пространства игровая ситуация приобретает иной характер: сначала решение должен бы принимать один игрок, а другой мог бы делать это вслед за ним.

    Применение теории игр для принятия стратегических управленческих решений

    В качестве примеров здесь можно назвать решения по поводу проведения принципиальной ценовой политики, вступления на новые рынки, кооперации и создания совместных предприятий, определения лидеров и исполнителей в области инноваций, вертикальной интеграции и т.д. Положения данной теории в принципе можно использовать для всех видов решений, если на их принятие влияют другие действующие лица. Этими лицами, или игроками, необязательно должны быть рыночные конкуренты; в их роли могут выступать субпоставщики, ведущие клиенты, сотрудники организаций, а также коллеги по работе.

  • Инструментарий теории игр особенно целесообразно применять, когда между участниками процесса существуют важные зависимости в области платежей. Ситуация с возможными конкурентами приведена на рис. 2.

    Квадранты 1 и 2 характеризуют ситуацию, когда реакция конкурентов не оказывает существенного влияния на платежи фирмы. Это происходит в тех случаях, когда у конкурента нет мотивации (поле 1) или возможности (поле 2) нанести “ответный удар”. Поэтому нет необходимости в детальном анализе стратегии мотивированных действий конкурентов.

    Аналогичный вывод следует, хотя и по другой причине, и для ситуации, отражаемой квадрантом 3. Здесь реакция конкурентов могла бы изрядно воздействовать на фирму, но поскольку ее собственные действия не могут сильно повлиять на платежи конкурента, то и не следует опасаться его реакции. В качестве примера можно привести решения о вхождении в рыночную нишу: при определенных обстоятельствах у крупных конкурентов нет оснований реагировать на подобное решение небольшой фирмы.

    Лишь ситуация, показанная в квадранте 4 (возможность ответных шагов рыночных партнеров), требует использования положений теории игр. Однако здесь отражены лишь необходимые, но недостаточные условия, чтобы оправдать применение базы теории игр для борьбы с конкурентами. Бывают ситуации, когда одна стратегия безусловно доминирует над всеми другими независимо от того, какие действия предпримет конкурент. Если взять, например, рынок лекарственных препаратов, то для фирмы часто бывает важно первой заявить новый товар на рынке: прибыль “первопроходца” оказывается столь значительной, что всем другим “игрокам” остается только быстрее активизировать инновационную деятельность.

  • Тривиальным с позиций теории игр примером “доминирующей стратегии” является решение относительно проникновения на новый рынок. Возьмем предприятие, которое выступает в качестве монополиста на каком-либо рынке (например, IВМ на рынке персональных компьютеров в начале 80-х годов). Другое предприятие, действующее, к примеру, на рынке периферийного оборудования для ЭВМ, обдумывает вопрос о проникновении на рынок персональных компьютеров с переналадкой своего производства. Компания-аутсайдер может принять решение о вступлении или невступлении на рынок. Компания-монополист может отреагировать на появление нового конкурента агрессивно или дружественно. Оба предприятия вступают в двухэтапную игру, в которой первый ход делает компания-аутсайдер. Игровая ситуация с указанием платежей показана в виде дерева на рис.3.

    Та же самая игровая ситуация может быть представлена и в нормальной форме (рис.4). Здесь обозначены два состояния – “вступление/дружественная реакция” и “невступление/ агрессивная реакция”. Очевидно, что второе равновесие несостоятельно. Из развернутой формы следует, что для уже закрепившейся на рынке компании нецелесообразно реагировать агрессивно на появление нового конкурента: при агрессивном поведении теперешний монополист получает 1(платеж), а при дружественном – 3. Компания-аутсайдер к тому же знает, что для монополиста не рационально начинать действия по ее вытеснению, и поэтому она принимает решение о вступлении на рынок. Грозившие потери в размере (-1) компания-аутсайдер не понесет.

    Подобное рациональное равновесие характерно для “частично усовершенствованной” игры, которая заведомо исключает абсурдные ходы. Такие равновесные состояния на практике в принципе довольно просто найти. Равновесные конфигурации могут быть выявлены с помощью специального алгоритма из области исследования операций для любой конечной игры. Игрок, принимающий решение, поступает следующим образом: вначале делается выбор “лучшего” хода на последнем этапе игры, затем выбирается “лучший” ход на предшествующем этапе с учетом выбора на последнем этапе и так далее, до тех пор пока не будет достигнут начальный узел дерева игры.

    Какую пользу могут извлечь компании из анализа на базе теории игр? Известен, например, случай столкновения интересов компаний IВМ и Telex. В связи с объявлением о подготовительных планах последней к вступлению на рынок состоялось “кризисное” совещание руководства IВМ, на котором были проанализированы мероприятия, направленные на то, чтобы заставить нового конкурента отказаться от намерения проникнуть на новый рынок.

    Компании Telex, видимо, стало известно об этих мероприятиях. Анализ на базе теории игр показал, что угрозы IВМ из-за высоких затрат безосновательны.

    Это свидетельствует, что компаниям полезно в эксплицитном виде обдумывать возможные реакции партнеров по игре. Изолированные хозяйственные расчеты, даже опирающиеся на теорию принятия решений, часто носят, как в изложенной ситуации, ограниченный характер. Так, компания-аутсайдер могла бы и выбрать ход “невступление”, если бы предварительный анализ убедил ее в том, что проникновение на рынок вызовет агрессивную реакцию монополиста. В этом случае в соответствии с критерием ожидаемой стоимости разумно выбрать ход “невступление” при вероятности агрессивного ответа 0,5.

  • Следующий пример связан с соперничеством компаний в области технологического лидерства. Исходной является ситуация, когда предприятие 1 ранее обладало технологическим превосходством, но в настоящее время располагает меньшими финансовыми ресурсами для научных исследований и разработок (НИР), чем его конкурент. Оба предприятия должны решить вопрос, попытаться ли с помощью крупных капиталовложений добиться доминирующего положения на мировом рынке в соответствующей технологической области. Если оба конкурента вложат в дело крупные средства, то перспективы на успех у предприятия 1 будут лучше, хотя оно и понесет большие финансовые расходы (как и предприятие 2). На рис. 5 эта ситуация представлена платежами с отрицательными значениями.

    Для предприятия 1 лучше всего было бы, если бы предприятие 2 отказалось от конкуренции. Его выгода в таком случае составила бы 3 (платежа). С большой вероятностью предприятие 2 выиграло бы соперничество, когда предприятие 1 приняло бы урезанную программу инвестиций, а предприятие 2 – более широкую. Это положение отражено в правом верхнем квадранте матрицы.

    Анализ ситуации показывает, что равновесие наступает при высоких затратах на НИР предприятия 2 и низких предприятия 1. При любом другом раскладе у одного из конкурентов появляется резон отклониться от стратегической комбинации: так, для предприятия 1 предпочтителен сокращенный бюджет, если предприятие 2 откажется от участия в соперничестве; в то же время предприятию 2 известно, что при низких затратах конкурента ему выгодно инвестировать в НИР.

    Предприятие, имеющее технологическое преимущество, может прибегнуть к анализу ситуации на базе теории игр, чтобы в конечном счете добиться оптимального для себя результата. С помощью определенного сигнала оно должно показать, что готово осуществить крупные затраты на НИР. Если такой сигнал не поступил, то для предприятия 2 ясно, что предприятие 1 выбирает вариант низких затрат.

    О достоверности сигнала должны свидетельствовать обязательства предприятия. В данном случае это может быть решение предприятия 1 о закупке новых лабораторий или найме на работу дополнительного научно-исследовательского персонала.

    С точки зрения теории игр подобные обязательства равнозначны изменению хода игры: ситуация одновременного принятия решений сменяется ситуацией последовательных ходов. Предприятие 1 твердо демонстрирует намерение пойти на крупные затраты, предприятие 2 регистрирует этот шаг и у него нет больше резона участвовать в соперничестве. Новое равновесие вытекает из расклада “неучастие предприятия 2” и “высокие затраты на НИР предприятия 1”.

  • К числу известных областей применения методов теории игр следует отнести также ценовую стратегию, создание совместных предприятий, расчет времени разработки новой продукции.

    Данная теория является базой подготовки рекомендаций для организационного строительства и проектирования систем стимулирования. Она полезна также для формирования и развития внутрифирменных культур.

    Важный вклад в использование теории игр вносят экспериментальные работы. Многие теоретические выкладки отрабатываются в лабораторных условиях, а полученные результаты служат импульсом для практиков. Теоретически было выяснено, при каких условиях двум эгоистически настроенным партнерам целесообразно сотрудничать и добиваться лучших для себя результатов.

    Эти знания можно использовать в практике предприятий, чтобы помочь двум фирмам достичь ситуации “выигрыш/выигрыш”. Сегодня консультанты с подготовкой в области игр быстро и однозначно выявляют возможности, которыми предприятия могут воспользоваться для заключения стабильных и долгосрочных договоров с клиентами, субпоставщиками, партнерами по разработкам и т.п.

    Проблемы практического применения
    в управлении

    Следует, однако, указать и на наличие определенных границ применения аналитического инструментария теории игр. В следующих случаях он может быть использован лишь при условии получения дополнительной информации.

    Во-первых, это тот случай, когда у предприятий сложились разные представления об игре, в которой они участвуют, или когда они недостаточно информированы о возможностях друг друга. Например, может иметь место неясная информация о платежах конкурента (структуре издержек). Если неполнотой характеризуется не слишком сложная информация, то можно оперировать сопоставлением подобных случаев с учетом определенных различий.

    Во-вторых, теорию игр трудно применять при множестве ситуаций равновесия. Эта проблема может возникнуть даже в ходе простых игр с одновременным выбором стратегических решений.

    В-третьих, если ситуация принятия стратегических решений очень сложна, то игроки часто не могут выбрать лучшие для себя варианты. Легко представить более сложную ситуацию проникновения на рынок, чем та, которая рассмотрена выше. Например, на рынок в разные сроки могут вступить несколько предприятий или реакция уже действующих там предприятий может оказаться более сложной, нежели быть агрессивной или дружественной.

    Экспериментально доказано, что при расширении игры до десяти и более этапов игроки уже не в состоянии пользоваться соответствующими алгоритмами и продолжать игру с равновесными стратегиями.

    Отнюдь не бесспорно и принципиальное, лежащее в основе теории игр предположение о так называемом “общем знании”. Оно гласит: игра со всеми правилами известна игрокам и каждый из них знает, что все игроки осведомлены о том, что известно остальным партнерам по игре. И такое положение сохраняется до конца игры.

    Но чтобы предприятие в конкретном случае приняло предпочтительное для себя решение, данное условие требуется не всегда. Для этого часто достаточны менее жесткие предпосылки, например “взаимное знание” или “рационализируемые стратегии”.

    В заключение следует особо подчеркнуть, что теория игр является очень сложной областью знания. При обращении к ней надо соблюдать известную осторожность и четко знать границы применения. Слишком простые толкования, принимаемые фирмой самостоятельно или с помощью консультантов, таят в себе скрытую опасность. Анализ и консультации на основе теории игр из-за их сложности рекомендуются лишь для особо важных проблемных областей. Опыт фирм показывает, что использование соответствующего инструментария предпочтительно при принятии однократных, принципиально важных плановых стратегических решений, в том числе при подготовке крупных кооперационных договоров.

    Версия для печати

  • Теория игр: Введение

    – Смысл того, что я сейчас вам всем продемонстрирую, – начал Гранди, – заключается в наборе необходимого количества баллов. Баллы могут быть самыми различными – все зависит от комбинации решений, которые принимаются участниками игры. К примеру, предположим, что каждый участник свидетельствует против своего товарища по игре. В этом случае каждому участнику можно присудить по одному очку!
    – Одно очко! – сказала Морская Ведьма, проявляя к игре неожиданный интерес. Очевидно, колдунья хотела удостовериться в том, что у голема нет никаких шансов, чтобы демон Ксант остался им доволен.
    – А теперь давайте предположим, что каждый из участников игры не свидетельствует против своего товарища! – продолжал Гранди. – В этом случае каждому можно присудить по три балла. Я хочу особенно отметить, что покуда все участники действуют одинаково, то им присуждается одинаковое количество баллов. Ни у кого нет никаких преимуществ перед другим.
    – Три очка! – сказала вторая ведьма.
    – Но вот теперь мы вправе предложить, что один из игроков начал давать показания против второго, а второй все равно молчит! – сказал Гранди. – В таком случае тот, кто эти показания дает, получает сразу пять очков, а тот, который молчит, не получает ни одного очка!
    – Ага! – в один голос воскликнули обе ведьмы, хищно облизывая губы. Было видно, что обе они явно собирались получить по пять очков.
    – Я все время терял очки! – воскликнул демон. – Но ведь ты пока только обрисовал ситуацию, а способа ее разрешения еще не представил! Так в чем заключается твоя стратегия? Не надо тянуть время!
    – Погоди, сейчас я все объясню! – воскликнул Гранди. – Каждый из нас четверых – нас тут двое големов и две ведьмы – будет сражаться против своих противников. Конечно же, ведьмы постараются никому ни в чем не уступить…
    – Конечно! – воскликнули снова обе ведьмы в унисон. Они отлично понимали голема с полуслова!
    – А второй голем будет следовать моей тактике, – продолжал Гранди невозмутимо. Он посмотрел на своего двойника. – Ты, конечно, в курсе?
    – Да, конечно! Я ведь твоя копия! Я прекрасно все понимаю, что ты думаешь!
    – Вот и отлично! В таком случае, давайте-ка сделаем первый ход, чтобы демон смог сам все увидеть. В каждом поединке будет несколько раундов, чтобы вся стратегия смогла проявиться до конца и произвела впечатление целостной системы. Пожалуй, мне следует начать.
    – Теперь каждый из нас должен наносить отметки на своих листках бумаги! – обратился голем к ведьме. – Сначала следует нарисовать улыбающееся лицо. Это будет означать, что мы не будем давать показания на товарища по заключению. Можно также нарисовать насупленное лицо, которое означает, что мы думаем только о себе и нужные показания на своего товарища даем. Мы оба сознаем, что лучше было бы, если бы никто не оказался тем самым насупленным лицом, но ведь, с другой стороны, насупленное лицо получает определенные преимущества перед улыбающимся! Но суть заключается в том, что каждый из нас не знает, что выберет другой! Не будем знать до тех пор, покуда партнер по игре не откроет своего рисунка!
    – Начинай ты, сволочь! – выругалась ведьма. Она, как всегда, не могла обойтись без бранных эпитетов!
    – Готово! – воскликнул Гранди, нарисовав большое улыбающееся лицо на своем листочке бумаги таким образом, чтобы ведьма не смогла увидеть, что он изобразил там. Ведьма сделала свой ход, тоже изобразив лицо. Надо думать, она непременно изобразила недобрую физиономию!
    – Ну, а теперь нам остается только показать друг другу наши рисунки, – объявил Гранди. Обернувшись назад, он открыл рисунок публике и показал его во все стороны, чтобы рисунок смогли увидеть все. Что-то недовольно ворча, то же самое сделала и Морская Ведьма.
    Как Гранди и рассчитывал, с рисунка колдуньи смотрело злое, недовольное лицо.
    – Теперь вы, уважаемые зрители, – сказал Гранди торжественно, – видите, что ведьма предпочла давать на меня показания. Я не собираюсь этого делать. Таким образом, Морская Ведьма набирает пять очков. А я, соответственно, не получаю ни одного балла. И тут…
    По рядам зрителей снова прокатился легкий шумок. Все явно сочувствовали голему и страстно желали, чтобы Морская Ведьма проиграла.
    Но ведь игра только-только началась! Если только его стратегия была верной…
    – Теперь мы можем перейти ко второму раунду! – объявил Гранди торжественно. – Мы снова должны повторить ходы. Каждый рисует лицо, которое ему ближе!
    Так и сделали. Гранди изображал теперь хмурое, недовольное лицо.
    Как только игроки показали свои рисунки, публика увидела, что теперь оба они изобразили злые лица.
    – По два очка каждому! – сказал Гранди.
    – Семь два в мою пользу! – заорала ведьма радостно. – Ты никуда отсюда не выберешься, мерзавец!
    – Начинаем снова! – воскликнул Гранди. Они сделали по очередному рисунку и показали их публике. Снова те же самые злые лица.
    – Каждый из нас повторил предыдущий ход, повел себя эгоистично, а потому, как мне кажется, лучше никому не присуждать очков! – заявил голем.
    – Но я все равно веду в игре! – сказала ведьма, радостно потирая руки.
    – Ладно, не шуми! – сказал Гранди. – Игра ведь не закончилась. Посмотрим, что будет! Итак, уважаемая публика, мы начинаем четвертый по счету раунд!
    Игроки снова сделали рисунки, показав публике то, что они изобразили на своих листках. Оба листка снова явили зрителям те же злые физиономии.
    – Восемь – три! – закричала ведьма, заливаясь злобным смехом. – Своей дурацкой стратегией ты выкопал себе могилу, голем!
    – Пятый раунд! – закричал Гранди. Повторилось то же самое, что и в прежние раунды, – снова злые лица, только счет изменился – он стал девять – четыре в пользу колдуньи.
    – Теперь последний, шестой раунд! – возвестил Гранди. Его предварительные расчеты показывали, что именно этот раунд должен стать судьбоносным. Теперь теория должна была подтвердиться либо быть опровергнута практикой.
    Несколько быстрых и нервных движений карандаша по бумаге – и оба рисунка предстали перед глазами публики. Снова два лица, теперь даже с оскаленными зубами!
    – Десять – пять в мою пользу! Моя игра! Я победила! – загоготала Морская Ведьма.
    – Ты действительно выиграла, – согласился Гранди мрачно. Аудитория зловеще молчала.
    Демон шевельнул было губами, чтобы что-то сказать.
    – Но наше состязание еще не закончено! – крикнул звонко Гранди. – Это ведь была только первая часть игры.
    – Да вам целую вечность подавай! – заворчал демон Ксант недовольно.
    – Это верно! – сказал Гранди спокойно. – Но ведь один тур ничего не решает, только методичность указывает на лучший результат.
    Теперь голем подошел к другой ведьме.
    – Я хотел бы сыграть этот тур с другим противником! – объявил он. – Каждый из нас будет изображать лица, как это было в предыдущий раз, потом будет демонстрировать нарисованное публике!
    Так они и сделали. Результат был таким же, как и в прошлый раз – Гранди нарисовал улыбающуюся рожицу, а ведьма – так вообще череп. Она сразу набрала преимущество в целых пять баллов, оставив Гранди позади.
    Оставшиеся пять раундов окончились с теми результатами, которых и можно было ожидать. Снова счет стал десять – пять в пользу Морской Ведьмы.
    – Голем, мне очень нравится твоя стратегия! – хохотала колдунья.
    – Итак, вы просмотрели два тура игры, уважаемые зрители! – воскликнул Гранди. – Я, таким образом, набрал десять очков, а мои соперницы – двадцать!
    Публика, которая тоже вела подсчет очков, скорбно закивала головами. Их подсчет совпал с подсчетами голема. Только облако по имени Фракто казалось весьма довольным, хотя, конечно, ведьме оно тоже не симпатизировало.
    Но Рапунцелия одобряюще улыбнулась голему – она продолжала верить в него. Она, возможно, осталась единственной, кто верил ему теперь. Гранди надеялся, что он оправдает это безграничное доверие.
    Теперь Гранди подошел к своему третьему сопернику – своему двойнику. Он должен был стать его последним противником. Быстро чиркнув карандашами по бумаге, големы показали листочки публике. Все увидели две смеющихся рожицы.
    – Заметьте, дорогие зрители, каждый из нас предпочел быть добрым сокамерником! – воскликнул Гранди. – А посему никто из нас не получил в этой игре необходимого преимущества перед соперником. Таким образом, мы оба получаем по три балла и приступаем к следующему раунду!
    Второй раунд начался. Результат был тот же, что и в предыдущий раз. Затем оставшиеся раунды. И в каждый раунд оба противника набирали опять по три балла! Это было просто невероятно, но публика была готова подтвердить все происходящее.
    Наконец и этот тур подошел к концу, и Гранди, быстро водя своим карандашиком по бумаге, стал подсчитывать результат. Наконец он объявил торжественно:
    – Восемнадцать на восемнадцать! В общей сложности я набрал двадцать восемь очков, а мои соперники набрали тридцать восемь!
    – Значит, ты проиграл, – возвестила Морская Ведьма радостно. – Победителем станет, таким образом, кто-то из нас!
    – Возможно! – спокойно отозвался Гранди. Теперь наступал еще один важный момент. Если все пройдет так, как им и было задумано…
    – Нужно довести дело до конца! – воскликнул второй голем. – Мне ведь тоже еще нужно сразиться с двумя Морскими Ведьмами! Игра еще не закончена!
    – Да, конечно, давай! – сказал Гранди. – Но только руководствуйся стратегией!
    – Да, конечно! – заверил его двойник.
    Этот голем подошел к одной из ведьм, и тур начался. Завершился он с тем же результатом, с которым из подобного раунда вышел сам Гранди – счет был десять-пять в пользу колдуньи. Ведьма прямо-таки сияла от невыразимой радости, а публика угрюмо замолчала. Демон Ксант выглядел несколько уставшим, что было не слишком добрым предзнаменованием.
    Теперь пришло время заключительного раунда – одна ведьма должна была сражаться против второй. Каждая имела в активе по двадцать очков, которые она смогла получить, сражаясь с големами.
    – А теперь, если ты позволишь набрать мне хотя бы несколько лишних очков… – заговорщицки прошептала Морская Ведьма своему двойнику.
    Гранди старался сохранить спокойствие хотя бы внешне, хотя в душе его бушевал ураган противоречивых чувств. Его удача сейчас зависела от того, насколько верно он предугадал возможное поведение обеих ведьм – ведь характер их был, в сущности, одним и тем же!
    Сейчас наступал самый, пожалуй, критический момент. Но если он ошибся!
    – С какой это стати я должна тебе уступать! – прокаркала вторая ведьма первой. – Я сама хочу набрать больше очков и выбраться отсюда!
    – Ну, если ты так нахально ведешь себя, – завопила претендентка, – то я тебя сейчас отделаю так, что ты больше не будешь похожа на меня!
    Ведьмы, одарив друг друга ненавидящими взглядами, начертили свои рисунки и показали их публике. Конечно же, ничего другого, кроме двух черепов, там оказаться просто не могло! Каждая набрала по одному очку.
    Ведьмы, осыпая друг друга проклятьями, приступили ко второму раунду. Результат опять тот же самый – снова два коряво нарисованных черепа. Ведьмы, таким образом, набрали еще по одному очку. Публика старательно все фиксировала.
    Так продолжалось и в дальнейшем. Когда тур закончился, усталые ведьмы обнаружили, что каждая из них набрала по шесть очков. Снова ничья!
    – Теперь давайте подсчитаем получившиеся результаты и все сравним! – торжествующе сказал Гранди. – Каждая из ведьм набрала по двадцать шесть очков, а големы набрали по двадцать восемь баллов. Итак, что мы имеем? А имеем мы тот результат, что големы имеют большее количество очков!
    По рядам зрителей прокатился вздох удивления. Взволнованные зрители стали писать на своих листочках столбики цифр, проверяя правильность подсчета. Многие за это время просто не считали количество набранных баллов, считая, что результат игры им уже известен. Обе ведьмы стали рычать от негодования, непонятно, кого именно обвиняя в происшедшем. Глаза демона Ксанта вновь загорелись настороженным огнем. Его доверие оправдалось!
    – Я прошу вас, уважаемая публика, обратить внимание на тот факт, – поднял руку Гранди, требуя от зрителей успокоиться, – что ни один из големов не выиграл ни единого раунда. Но окончательная победа все-таки будет за одним из нас, из големов. Результаты будут более красноречивыми, если состязание продолжится и дальше! Я хочу сказать, дорогие мои зрители, что в вечном поединке моя стратегия будет неизменно оказываться выигрышной!
    Демон Ксант с интересом прислушивался к тому, что говорил Гранди. Наконец он, испуская клубы пара, открыл рот:
    – А в чем конкретно заключается твоя стратегия?
    – Я называю ее «Быть твердым, но честным»! – пояснил Гранди. – Я начинаю игру честно, но затем начинаю проигрывать, потому что мне попадаются очень специфические партнеры. Поэтому в первом раунде, когда оказывается, что Морская Ведьма начинает давать против меня показания, я автоматически остаюсь проигравшим и во втором раунде – и так продолжается до конца. Результат может быть другим, ежели ведьма переменит свою тактику ведения игры. Но поскольку ей такое даже в голову прийти не может, мы продолжали играть по предыдущему шаблону. Когда я начал играть со своим двойником, то он хорошо отнесся ко мне, а я хорошо относился к нему в следующем раунде игры. Поэтому игра у нас пошла тоже по-другому и несколько однообразно, поскольку мы не хотели изменять тактику…
    – Но ведь вы не выиграли ни единого тура! – удивленно возразил демон.
    – Да, а эти ведьмы не проиграли ни одного тура! – подтвердил Гранди. – Но ведь победа не автоматически достается тому, за кем остались туры. Победа достается тому, кто набрал большее количество баллов, а это совсем другое дело! Мне удалось набрать больше очков, когда мы играли вместе с моим двойником, чем когда я играл с ведьмами. Их эгоистическое отношение принесло им сиюминутную победу, но в плане более долгосрочном оказалось, что именно из-за этого обе они проиграли игру целиком. Часто случается и такое!

    Матричные игры. Равновесная ситуация

    123456

    РАЗДЕЛ 2. ИГРОВЫЕ МЕТОДЫ

    Глава 4. Матричные игры

    Предмет и задачи теории игр

    В экономике часто сталкиваются с ситуациями, когда эффективность решений одних участников экономического процесса зависит от решений, принятых другими участниками. При этом каждое предприятие сознательно стремится добиться наилучших результатов за счет других. Такие ситуации называются конфликтными. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как все участники процесса принимают решения в условиях неопределенности.

    Построением математических моделей конфликтных ситуаций и разработкой методов решения возникающих в этих ситуациях задач занимается теория игр.

    Методы и рекомендации теории игр применимы к многократно повторяющимся конфликтным ситуациям. Если конфликтная ситуация реализуется ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.

    Игра – это упрощенная математическая модель конфликтной ситуации.

    Игра ведется по определенным правилам. Суть игр состоит в том, что каждый участник принимает такое решение, которое, как он полагает, обеспечит ему наилучший исход. Исходом игры называется значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться в матричном или аналитическом виде.

    Величина выигрыша зависит от стратегии, принимаемой игроком.

    Стратегия – это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игр.

    Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным. В зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

    Игра состоит из отдельных партий.

    Партия – это каждый вариант реализации игры.

    В партии игроки совершают ходы.

    Ход – это выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения.

    В игре могут сталкиваться интересы двух или нескольких игроков, поэтому игры бывают парные и множественные. В зависимости от взаимоотношений участников различают игры некооперативные (бескоалиционные), когда участники имеют права заключать соглашения, и кооперативные (коалиционные).

    В экономике нередко приходится сталкиваться с ситуацией, когда один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называются играми с природой. Под термином «природа» понимают все совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится принимать решения.

    Матричные игры. Равновесная ситуация

    Пусть в игре участвуют два игрока. Игрок имеет m стратегий, а игрок – n стратегий.

    Обозначим стратегии игрока как , , …, , а стратегии игрока – как , , …, .

    Если игрок выбрал стратегию , а игрок – стратегию , то выигрыш игрока составит , а игрока – , причем

    = — . (4.1)

    Поэтому при анализе такой игры достаточно рассмотреть выигрыш только одного игрока, например выигрыш игрока А. Зная выигрыш аik по формуле (4.1) легко определить выигрыш .

    Матричные игры называются парными играми с нулевой суммой, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

    Таблица 4.1

    … … … …

    Чаще эти выигрыши записывают в виде платежной матрицы (матрицы игр) размера , поэтому такие игры называются матричными играми :

    А=

    Матричные игры относятся к разряду антагонистических, т.е. игр, в которых интересы игроков противоположны.

    Пример 4.1. Каждый из двух игроков и одновременно и независимо друг от друга записывают на листе бумаги любое целое число. Если записанные числа имеют одинаковую четность, то игрок выигрывает одно очко, если разные, то одно очко выигрывает игрок Построить платежную матрицу данной игры.

    Решение. У игрока две стратегии: – записать четное число и – записать нечетное число. У игрока также две стратегии: – записать четное число и – записать нечетное число. Матрица выигрышей игрока в этой игре 2×2 имеет вид

    = .

    В данной матрице строки соответствуют стратегиям игрока , а столбцы – стратегиям игрока .

    Действительно, если игрок делает ход , а игрок – ход , то одно очко выигрывает игрок и = 1. Если игрок делает ход , а игрок – ход , то одно очко выигрывает игрок , соответственно игрок это очко проигрывает, т.е. = -1 и т.д.

    В примере 4.1 рассмотрена простейшая математическая модель конечной конфликтной ситуации, когда имеются два участника и выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой.

    Равновесная ситуация

    Пусть матричная игра m×n задана платежной матрицей

    = (4.2)

    Строки этой матрицы соответствуют стратегиям игрока , а столбцы – стратегиям игрока . В теории игр предполагается, что оба игрока действуют разумно, т.е. стремятся к получению максимального выигрыша, считая, что соперник действует наилучшим для себя образом. Определим оптимальные стратегии каждого из игроков. Начнем с анализа стратегий игрока . На стратегию игрока игрок ответит такой стратегией , при которой выигрыш игрока будет минимальным. Аналогично игрок B будет отвечать на все m стратегий игрока . Другими словами, найдем в каждой строке матрицы минимальный элемент (минимальные выигрыши игрока )

    и запишем их в правом столбце табл. 4.2.

    Таблица 4.2.

    Минимальные выигрыши игрока А
    … …
    Максимальные выигрыши игрока А

    Действуя разумно, игрок остановится на той стратегии , для которой окажется максимальным. Поэтому среди чисел

    выбираем максимальное число

    (4.3)

    Число называется нижней ценой игры.

    Принцип построения стратегии игрока , основанный на максимизации минимальных выигрышей, называется принципом максимина (maxmin).

    Проведем анализ стратегий игрока . Для этого найдем в каждом столбце матрицы максимальный элемент (максимальные выигрыши игрока ):

    и запишем их в нижней строке табл. 4.2. Действуя разумно, игрок B остановится на той стратегии , для которой выбираем минимальное число

    (4.4)

    Число β называется верхней ценой игры.

    Принцип построения стратегии игрока B, основанный на минимизации максимальных выигрышей, называется принципом минимакса (minmax).

    Нижняя цена игра α и верхняя цена игра β связаны неравенством

    α ≤ β. (4.5)

    Если или

    (4.6)

    то ситуация оказывается равновесной, и ни один игрок не заинтересован в том, чтобы ее нарушить. В том случае, когда верхняя цена игры равна нижней, их называют просто ценой игры.

    Если α=β, то такую игру называют также игрой с седловой точкой, а пара оптимальных стратегий – седловой точкой матрицы. Цена игры обозначается буквой v. Тогда .

    Седловых точек в матричной игре может быть несколько, но все они имеют одно и то же значение.

    Пример 4.2. Игроки и записывают одну из трех цифр: 1, 2 или 3. Затем сравнивают эти цифры и расплачиваются друг с другом так, как показано в платежной матрице размера 3×3 :

    =

    Определить оптимальные стратегии.

    Решение. Здесь строки соответствуют стратегиям игрока , а столбцы – стратегиям игрока .

    Стратегия игрока : ; ; .

    Стратегия игрока : ; ; .

    Определим оптимальные стратегии каждого из игроков. Начнем с анализа стратегий игрока . Игрок анализирует свою стратегию на максимин (maxmin) , т.е. на максимальный из своих минимальных выигрышей. На стратегию игрока игрок В ответит стратегией , т.е. то стратегией, при которой выигрыш игрока будет минимальным (выигрыш – 2 игрока означает его выигрыш +2). На стратегию игрока игрок В ответит стратегией (минимальный выигрыш игрока равен 1). На стратегию – стратегией (минимальный выигрыш игрока равен –3 ). Запишем минимальный выигрыш игрока А в правом столбце табл. 4.3.

    Таблица 4.3.

    Минимальные выигрыши игрока А
    -2 -3 -1 -2 -3
    Максимальные выигрыши игрока А

    Игрок , проанализировав правый столбец таблицы, оставит свой выбор на стратегии , при которой его минимальный выигрыш максимален. Это максимальное значение называется максимин (maxmin). В данном случае maxmin = 1. Если игрок будет придерживаться этой стратегии, то ему гарантирован выигрыш, не менее 1, при любом поведении противника.

    Аналогично проведем анализ стратегий игрока . Игрок В анализирует свою стратегию на минимакс (minmax), т.е. на минимальный из максимальных выигрышей игрока . На стратегию игрока игрок ответит стратегией , т.е. той стратегией, при которой его выигрыш будет максимальным и равен 3. На стратегию игрока игрок ответит стратегией (его максимальный выигрыш равен 2), на стратегию – стратегией (его максимальный выигрыш равен 1). Запишем максимальные выигрыши игрока в нижней строке табл. 5.3. В данном случае minmax = 1. Если игрок В будет придерживаться этой стратегии, то он проиграет не больше 1 при любом поведении противника.

    Таким образом, в рассматриваемой игре maxmin и minmax совпали:

    Теория игр – это математический метод анализа, основу которому положил Джон фон Нейман. В свое время ученый заинтересовался поиском эффективных стратегий для игры в покер, т.к. считал потенциал этой игры нераскрытым с точки зрения математики.

    На основе своих исследований он сформулировал ряд законов, которые оказались справедливы в том числе и для множества других сфер жизни, где, как и в покере, действующие лица вынуждены принимать решения, не имея полной информации о чужих намерениях или каких-то других важных обстоятельствах.

    Благодаря Джону фон Нейману не только покер получил свое развитие и стал одной из самых популярных интеллектуальных игр, по которой проводятся крупные международные чемпионаты, такие как PokerStars Sochi Event. Исследования математика открыли дорогу также для многочисленных научных исследований в таких областях, как экономика, эволюционная биология и психология, на которой мы и остановимся подробно в данной статье.

    Казалось бы, какое отношение математика имеет к сложным и многогранным человеческим отношениям? Где сухие цифры, а где эмоции, которые не подпадают ни под какие стандарты и категории. На самом деле, социальные психологи однозначны – человеческие отношения и математика могут быть связаны. По крайней мере, с некоторыми, особенно интересными сферами точной науки. Теория игр и стала одной из них.

    В средине девяностых Нобелевскую премию за исследование равновесия в теории игр некорпоративного характера получила группа математиков во главе с Джоном Нэшем (да-да, в этот период жизни его воплотил на экране Рассел Кроу в фильме «Игры разума»). В повседневной жизни реализация теории нашла отражение в так называемой дилемме заключенного.

    Представим вымышленную ситуацию, в которой полиция захватила двух подельников. Их рассадили в разные камеры, и каждому огласили одни и те же условия. Если оба откажутся сотрудничать с полицией и будут молчат – отсидят только по шесть месяцев. Если каждый окажется доносчиком, то обоим дадут по паре лет. Но если проговорится только один – его отпустят сразу же, а «товарища по несчастью» посадят на целых десять лет.

    Объективно, обоим заключенным следует вести себя «благородно» по отношению к подельнику и молчать. В таком случае они оба отсидят только по полгода. Но с другой стороны, в реальности, единственно верным и наименее рискованным поведением является второй вариант. Таким образом, заключенный убережет себя от возможных 10 лет и получит всего лишь два.

    Ситуация только кажется гипотетической. На самом деле, она четко рисует модель поведения, через которую рано или поздно придется пройти каждой паре. Так называемый цикл и постоянная «гонка вооружений» приведет отношения к разрушению. «Бомба» рано или поздно взорвется, или эмоциональный банк просто разорится. Постоянная череда обид и оскорблений не закончится до тех пор, пока каждый партнер не почувствует равновесия. Невозможно двигаться дальше и «закрыть цикл», если один из «заключенных» ощущает себя оскорбленным.

    В теории игр, которую применяют в психологии, все ситуации моделируют только для двух «игроков» – идеальное решение для пары. У каждого игрока есть определенный ограниченный набор действий, при этом, выбрать можно только одно. Цель участника такой «игры» – набрать наибольшее количество «выгоды» или «полезности». Но проблема заключается в том, что выбранное действие игрока А противоречит или ограничивает «полезность» игрока В или варианты его действий.

    В психологии выделяют несколько стратегий, которые применяют в теории игр. Наиболее разрушительными для отношений являются доминирующая и отклоняющаяся стратегия. Первая предусматривает выбор одним игроком таких вариантов действий, которые существенно ухудшают игровую стратегию другого. Например, если в отношениях женщина пытается контролировать все действия мужчины, он подсознательно почувствует ограничение свободы и захочет «нарушить правила».

    Доминирующая стратегия дает «полезность» только на краткий период времени – один партнер может знать, где находится другой. Однако, в долгосрочной перспективе у игрока В среди оставшихся вариантов поведения не останется тех, которые помогут отношениям оставаться крепкими. Значит, игрок А также проигрывает, несмотря на более успешную стратегию.

    Другая стратегия поведения по теории игр – оптимальная. Она заключается в том, что оба партнера стараются достичь не максимально возможного результата от игры, а локального оптимума. Это исход, в котором результат двух партнеров находятся в равновесии. Ни один из партнеров не чувствует себя подавленным, несмотря на то, что ему пришлось отказаться от собственного игрового «максимума».

    Общие правила оптимизирующей стратегии довольно просты. На любое действие должно быть только одно противодействие – не нужно запускать цикл из мести и новых обид, а нужно вовремя останавливаться и двигаться дальше. Да, можно было обойтись вообще без подобных ситуаций, но локальный оптимум в данном случае – одно противодействие против одного действия. В отношениях лучше оставаться «заключенными», которые стали доносчиками оба.

    Для общего блага собственными интересами приходится жертвовать в пользу крепких отношений и общего равновесия. Но для этого каждый игрок должен быть «осведомлен» о правилах игры и понимать, что отказаться от «выгоды» в краткосрочном формате приходится для долгосрочной выгоды обоих партнеров.